Écriture en base 10

Avant de nous intéresser à la représentation des entiers sous forme binaire, commençons par regarder d’un peu plus près comment sont représentés les nombres pour les êtres humains.

Toutes les sociétés utilisent depuis quelques millénaires la base 10, encore appelée représentation décimale des entiers (historiquement, ce n'était pas toujours le cas: les mayas utilisaient par exemple le système vicésimal de base 20, les babyloniens le système sexagésimal de base 60 qui nous est d’ailleurs resté pour les minutes/secondes ou certains calculs d’angles en degrés).

Les nombres entiers sont représentés en base 10 par une suite de chiffres décimaux (il y en a exactement 10, compris entre 0 et 9). Supposons qu’un entier naturel \(N\) y ait \(n + 1\) chiffres \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0\) où \(a_0\) correspond au chiffre des unités, \(a_1\) au chiffre des dizaines, etc.

Il est alors possible de reconstituer le nombre de départ, en constatant que \[N = a_n\times 10^n + a_{n-1}\times 10^{n-1} + \cdots + a_2\times 10^2 + a_1\times 10^1 + a_0\times 10^0\]

On dit que le nombre \(10^k\) que l’on multiplie à \(a_k\) est le poids de \(a_k\). Le chiffre \(a_n\) est dit de poids fort car il est multiplié à la plus grande puissance de 10. À l’inverse, le chiffre des unités \(a_0\) est appelé chiffre de poids faible.

Exemple: Prenons \(N = 30,728\)

On a bien:

\begin{align*} 30,728 & = 30,000 + 700 + 20 + 8 \\\
& = 3\times 10^4 + 0\times 10^3 + 7\times 10^2 + 20\times 10^1 + 8\times 10^0 \end{align*}

Il est possible de démontrer mathématiquement (c’est un théorème) qu'à tout nombre entier \(N\) est associé une unique séquence de chiffres donnant la représentation décimale. Inversement, étant donné une séquence de chiffres décimaux, on peut toujours calculer un unique nombre entier par la formule ci-dessus.